第四十二章：数学城（4）
同志们，今天是数学城的奠基仪式，许多人问我为什么要选择今天这个日子来举行这个仪式，我今天可以告诉大家答案，因为210年前的今天，一个意大利人出生了，这个意大利人叫皮亚诺，他是一个伟大的人，如果没有他，在座的许多人也许没有资格坐在这里。
为什么要这样说呢？因为树高千尺根深在沃土。我们的数学水平不管有多高，我们的第一节数学课还记得吗？教的是什么？不就是1+1=2吗？1+1=2构建了我们最基础的数学知识。但是我自己到了很久很久以后才知道这个1+1=2其实并没有那么简单。因为这要从皮亚诺公理开始说起。
1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是0作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用至的皮亚诺算术公理系统。
人类对数学的认识其实原始社会就开始了。到了皮亚诺那个时代，数学大厦其实已经很高了。但是皮亚诺发现这座数学大厦的基础还需要加固。于是他总结先人的成就，加上自身的见解，还有同事的意见，建立了皮亚诺算术公理系统。
虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的ε-δ语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上。
我，还有在座的大多数，都是这个公理系统的受益者。如果没有这个公理系统我们将难以学会微积分。
注
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ1是自然数；
Ⅱ每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的数（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；
Ⅲ如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；
Ⅳ1不是任何自然数的后继数；
Ⅴ任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)M.biQuge.biZ
注：若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下：
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X，x，f)：
ⅠX是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱx不在f的值域内；
Ⅲf为一单射；
Ⅳ若A为X的子集并满足:x属于A，且若a属于A，则f(a)亦属于A，则A=X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1°P(自然数集)不是空集；2°P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；
3°后继元素映射像的集合是P的真子集；
4°若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与P重合.
这四个假设能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据。
（摘自《百度百科》）
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为什么要这样说呢？因为树高千尺根深在沃土。我们的数学水平不管有多高，我们的第一节数学课还记得吗？教的是什么？不就是1+1=2吗？1+1=2构建了我们最基础的数学知识。但是我自己到了很久很久以后才知道这个1+1=2其实并没有那么简单。因为这要从皮亚诺公理开始说起。
1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是0作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用至的皮亚诺算术公理系统。
人类对数学的认识其实原始社会就开始了。到了皮亚诺那个时代，数学大厦其实已经很高了。但是皮亚诺发现这座数学大厦的基础还需要加固。于是他总结先人的成就，加上自身的见解，还有同事的意见，建立了皮亚诺算术公理系统。
虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的ε-δ语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上。
我，还有在座的大多数，都是这个公理系统的受益者。如果没有这个公理系统我们将难以学会微积分。
注
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ1是自然数；
Ⅱ每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的数（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；
Ⅲ如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；
Ⅳ1不是任何自然数的后继数；
Ⅴ任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)M.biQuge.biZ
注：若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下：
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X，x，f)：
ⅠX是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱx不在f的值域内；
Ⅲf为一单射；
Ⅳ若A为X的子集并满足:x属于A，且若a属于A，则f(a)亦属于A，则A=X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1°P(自然数集)不是空集；2°P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；
3°后继元素映射像的集合是P的真子集；
4°若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与P重合.
这四个假设能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据。
（摘自《百度百科》）
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